ingenieria procesos: noviembre 2010

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Cálculos de Balances de Materia.

El potencial de las hojas de cálculo para calcular balances de materia radica en que al escribir las ecuaciones como fórmulas en las celdas, que toman datos de otras celdas (variables de entrada), el resultado se despliega inmediatamente (variable de salida). Al agregar más fórmulas, que usen resultados de fórmulas previas, el conjunto de ecuaciones evoluciona en el modelo de un proceso. Estos modelos tienen las capacidades inherentes de las hojas de cálculo de ser adaptables, flexibles y de fácil uso, capacidades que pueden aprovecharse en estudios de sensibilidad y simulación de los procesos químicos.

Para procesos con un gran número de equipos y de especies químicas, las hojas de cálculo no substituyen ni pueden competir con los programas comerciales de simulación como AspenPlus y HYSYS. Sin embargo para procesos no muy grandes las hojas de cálculo son de gran ayuda en el cálculo de balances de materia. En este trabajo se presentan ejemplos de este tipo de procesos.

Ejemplo 1.

El proceso de fabricación del cloro etileno (Naphtali, 1964), usa como materia prima cloro y etileno, ver figura 1. Las corrientes frescas de cloro y etileno (100 moles/min. de cada uno), se, unen con una corriente de recirculación y la mezcla se alimenta a un reactor, en el que se logra la conversión de 90 % del etileno. La reacción es: Cl2 + CH2=CH2 à CH2Cl-CH2Cl. El efluente del reactor pasa a un separador de fases, flash. La recuperación de los componentes a la entrada del flash que se obtienen en el domo son 99.9 % de cloro, 8 % de etileno y 2 % de cloro etileno. El resto de lo que entra al flash se va por el fondo, como una corriente de producto. La corriente del domo del flash, rica en cloro, se recicla al reactor teniéndose una purga previa de 5 % del flujo molar.

En el diagrama de flujo del proceso de la figura 1, se observa que las corrientes de entrada y salida de los equipos se identifican con letras. Estas letras se usan para identificar los encabezamientos de las columnas en la hoja de trabajo de Excel para los cálculos.

Figura 1. Diagrama del proceso de fabricación del cloro etileno.

Estratégias de Cálculo de Balances de Materia.

El modelo matemático de un proceso contiene todas las ecuaciones de balances de materia y restricciones de cada uno de los equipos del proceso. Se divide el modelo en bloques o módulos de ecuaciones que incluyen, cada uno, las ecuaciones de cada equipo. Se distinguen en cada módulo de ecuaciones dos tipos de variables, las de salida, para las cuales se resuelven las ecuaciones, que corresponden a las variables de las corrientes de salida de los equipos, principalmente los flujos de las especies químicas; las otras variables son las de entrada, consideradas como datos. Además para cada módulo se deben especificar los parámetros del equipo que definen su funcionamiento.

La resolución de las ecuaciones se puede hacer de acuerdo a dos estrategias de cálculo; por solución secuencial o por solución simultánea.

En la estrategia de solución secuencial se resuelven las ecuaciones de cada módulo, desde el primero hasta el último. El cálculo se hace de acuerdo a la secuencia en que aparecen en el diagrama de flujo del proceso, por esto a este método también se le conoce como estrategia secuencial modular. Si hay ciclos, se suponen los valores de las variables de las corrientes de recirculación y se calculan las variables de salida de todos los módulos en el ciclo hasta obtener nuevos valores de recirculación. Se comparan los valores calculados y supuestos y si son casi iguales, el procedimiento ha convergido y los cálculos terminan, si no, entonces se suponen nuevos valores de recirculación, basándose en los calculados y se continúa iterando hasta obtener la convergencia. Las corrientes de recirculación que se eligen para el cálculo iterativo se denominan corrientes de corte (Westerberg et al, 1979).

En la estrategia de solución simultánea se agrupan todas las ecuaciones de todos los módulos y se resuelven simultáneamente para obtener las variables de salida de todos los módulos. A esta estrategia también se le conoce como estrategia orientada a ecuaciones (Rosen y Partin, 2000).

Para ilustrar el uso de Excel en la aplicación de estas estrategias, se usa el proceso del ejemplo 1, para el cual se derivan los siguientes balances de materia. Se usa la siguiente nomenclatura.

Zi = Flujo del componente “i” en la corriente Z, de acuerdo a la figura 1.

El subíndice 1 se refiere al etileno, el 2 al cloro y el 3 al cloro etileno.

Mezclador: C1 = y1 + F1

C2 = y2 + F2 (1)

C3 = y3 + F3

En donde yi = flujo de alimentación fresca del componente i.

Reactor: D1 = (1 – x)*C1

D2 = C2 – x*C1 (2)

D3 = C3 + x*C1

En donde x = conversión del etileno.

Flash (domo): E1 = g1*D1

E2 = g2*D2 (3)

E3 = g3*D3

En donde gi = Fracción de separación en el flash para cada componente i.

Flash (fondo): H1 = D1 – E1

H2 = D2 – E2 (4)

H3 = D3 – E3

Divisor (recirculación):

F1 = r*E1

F2 = r*E2 (5)

F3 = r*E3

En donde r = Fracción de división hacia la recirculación.

Divisor (purga):

G1 = E1 – F1

G2 = E2 – F2 (6)

G3 = E3 – F3

Se tienen un total de seis módulos, ecuaciones de 1 a 6.

En el caso de seguir una estrategia de solución secuencial, primero se aplica el método a las ecuaciones del etileno, en el siguiente orden:

C1 = y1 + F1 (7)

D1 = (1 – x)*C1 (8)

E1 = g1*D1 (9)

F1 = r*E1 (10)

G1 = E1 – F1 (11)

H1 = D1 – E1 (12)

En estas ecuaciones F1 es el flujo del etileno en la corriente de recirculación, es la variable de iteración. Se empiezan los cálculos suponiendo un valor de F1 y se itera resolviendo, secuencialmente, las ecuaciones (7) a (11) hasta obtener la convergencia. Se procede de forma similar con las ecuaciones para el cloro y para el cloro etileno. En Excel la hilera con las ecuaciones de 7 a 12 se muestra en la figura 2.

Figura 2. Fórmulas en Excel del balance de materia para el etileno.

Las ecuaciones se definen en las celdas a través de la barra de fórmulas, antecediendo las fórmulas con el signo de igualdad “=”. Cuando se insertan textos no se pone el signo igual, como en el caso del rotulo de la hilera para el etileno .

Como la referencia en una fórmula a celdas que están adelante, da lugar a cálculos circulares, Excel alerta al usuario de que esto no es posible efectuarlo de manera automática. Para hacer los cálculos iterativamente se procede de la siguiente manera. En el menú de Herramientas dar clic en Opciones. Entonces se desplegara un submenú, ahí elegir la opción de Calcular y activar los botones Manual e Iteración. Cerrar la ventana de dialogo del submenú dando clic en aceptar y hacer los cálculos oprimiendo la tecla F9 tantas veces hasta que los valores en las celdas ya no cambien, punto en el cual los cálculos convergen.

Nótese que en la celda B1 se escribe el valor de la alimentación fresca. Los parámetros de los equipos x, g1 y r se definen antes de esta línea, como nombres asignados a celdas, empleando el menú Insertar con las opciones Nombre y Definir. Aparece un cuadro de dialogo. En la línea que indica “nombres en el libro”, introducir el nombre y dar clic en aceptar. Los valores asignados aparecen en la parte superior de la hoja de trabajo.

Las hileras con las ecuaciones para el cloro y el cloro etileno se construyen de manera similar. La hoja de trabajo completa, con los valores de los flujos en las distintas corrientes se muestra en la figura 3, los valores desplegados son los que se obtienen después de lograr la convergencia en la recirculación. Para no desplegar números con extensas cifras decimales, definir el rango de las celdas y en la opción Formato seleccionar Celdas. En el cuadro de dialogo del submenú “formato de celdas” que aparece elegir Número y en “Posiciones decimales” dar el número deseado, por ejemplo 3 cifras decimales. Un rango de celdas se selecciona recorriendo el cursor del Mouse desde la primera celda a la última a seleccionar, con el botón derecho oprimido.

En la parte inferior de la hoja de trabajo de la Figura 3 se calculan los flujos de los componentes en las corrientes, en unidades de kg/min, empleando los pesos moleculares de las especies químicas que se dan en la última columna.

Figura 3. Hoja de trabajo de la solución secuencial del ejemplo1.

En todos los casos de cálculo de balances de materia, una vez alcanzada una solución, conviene comprobar que se cumple el balance entre los flujos másicos de entrada y salida. Por ello, en la figura 3 se muestra en la hoja de trabajo de la solución del ejemplo1 los cálculos de flujos en kg/min de todas las corrientes y los correspondientes a los de entrada (celda B22) y salida (suma de las celdas G22 y H22), comprobándose que se cumple la ley de conservación de la materia.

Una de las ventajas de las hojas de cálculo es la transparencia en los procedimientos de cálculo, ya que pueden verse las fórmulas empleadas simplemente pasando el cursor del Mouse sobre las celdas, en la barra de fórmulas se despliegan las fórmulas que contienen las celdas.

Otra de las ventajas de Excel es la facilidad con que el usuario puede interactuar con los procedimientos, así como probar cambios a los valores de las celdas y observar, instantáneamente, su efecto. Por ejemplo, puede probarse que pasa si se aumenta el valor del por ciento de purga en la celda B6 y observar su efecto en la conversión global y en el balance de materiales de todas las corrientes.

Para aplicar la estrategia de solución simultanea del proceso del cloro etileno, se agrupan las ecuaciones de la siguiente manera:

Para el Etileno las ecuaciones de 7 a 12 dan lugar al arreglo:

Este sistema de ecuaciones se representa en forma compacta por la ecuación matricial Z = A*Z + Y. La solución se puede obtener con Z = (I – A)-1*Y, donde I es una matriz identidad de 6x6 y Z el vector de soluciones.

Para hacer el cálculo de la inversa y la multiplicación de matrices se usan las funciones de Excel MMULT y MINVERSA respectivamente. La matriz I – A para el balance del etileno es:

En esta matriz ya se sustituyeron los valores de los parámetros del etileno.

Para escribir las matrices en Excel se procede de la siguiente manera:

1. Formar una matriz de 6x6 con ceros en todas las celdas usando el llenado automático con el cuadro de relleno. El cuadro de relleno es un cuadro pequeño negro en la esquina inferior derecha de la celda seleccionada, ver en la figura 2 en la celda A1 donde aparece la palabra Etileno el pequeño cuadro negro. Para llenar una matriz de 6x6 con ceros, se define un cero (=0) en la celda inicial y se coloca el cursor en el cuadro de relleno, de esta celda inicial y con el botón derecho oprimido, se desplaza hacia la derecha el mouse hasta cubrir un rango de seis hileras y seis columnas.

2. Después cambiar los ceros por los valores de la matriz que sean diferentes de cero.

3. Luego crear el vector Y a la derecha de la matriz I-A dejando una columna vacía entre la matriz y el vector. En esa columna vacía quedara el vector solución de las ecuaciones. Esa columna aparece con el rótulo solución en la hoja de trabajo de la figura 4.

4. Seleccionar el rango del vector solución y en la barra de fórmulas, empezando con un signo de igualdad, seleccionar la función MMULT del conjunto de funciones de Excel. Se tiene acceso a las funciones predefinidas de Excel dando clic al pequeño triangulo invertido que se muestra a la izquierda de la barra de fórmulas.

5. En la ventana de dialogo de la función MMULT seleccionar como matriz 1 a la matriz I-A. Se puede dar el rango o usar el botón de contraer dialogo

y seleccione el rango con el cursor del Mouse. La matriz 2 será el vector Y. Cerrar el dialogo de MMULT y dentro de la fórmula de MMULT insertar la función MINVERSA. En la ventana de dialogo de MINVERSA seleccionar la matriz I-A y cerrar ventana de dialogo de MINVERSA. Probablemente Excel indique un error en la asignación de matrices y trate de corregirlo. Corregir manualmente la fórmula del producto de la inversa de I-A por Y para obtener =MMULT(MINVERSA(rango de I-A),(rango de Y)). Cuando se usan arreglos y matrices en Excel no oprimir la tecla Enter al final de la fórmula, oprima simultáneamente las teclas Ctrl+mayusculas+entrar, para indicarle a Excel que efectúe operaciones matriciales. Excel inserta corchetes en la fórmula de la siguiente manera: ={MMULT(MINVERSA(rango de I-A),(rango de Y))}

La solución debe aparecer en la columna del vector solución, que corresponde a los flujos molares del etileno en las diferentes corrientes del proceso.

Se procede de la misma forma para las matrices de los otros componentes. La hoja de trabajo de Excel con la solución se muestra en la figura 4. En la matriz I-A el valor en el elemento de la tercera hilera de la primera columna escribir el número -0.999 que corresponde a la fracción de recuperación del cloro en el domo del flash. El elemento de la segunda hilera del vector Y escribir el valor calculado en el vector solución del balance del etileno, segunda hilera, multiplicado por 0.90. Estos valores corresponden al flujo de etileno a la entrada al reactor y la conversión de etileno, respectivamente. El producto da como resultado el valor del avance de la reacción.

Con el objeto de comparar con los resultados de la hoja de trabajo de la simulación secuencial se repiten los valores de los vectores solución pero en forma de hilera como se muestra en la parte inferior de la hoja de trabajo de la figura 4. Copiar cada celda por separado y con el botón derecho del Mouse seleccionar “Pegado Especial” y en el cuadro de dialogo activar lo opción “valores” y dar clic en aceptar.

Figura 4. Hoja de trabajo de la solución simultanea por componentes del ejemplo 1.

Otra forma de resolver simultáneamente los módulos del proceso es poniendo todas las ecuaciones en una sola matriz, en este caso, tendrá 18 hileras por 18 columnas. Las primeras tres hileras corresponden a los flujos de salida del mezclador para los tres componentes. Las siguientes tres hileras contienen los flujos de salida del reactor, etc.

Ejemplo 2.

Se efectúan los cálculos de balance de materia del proceso de fabricación de alcohol etílico, con los datos del libro de Biegler y cols. [4]. En el libro se especifica una producción anual de 150,000 m3 anuales de alcohol de 190°. Esta cantidad corresponde a 308.9 kmol/hr. La reacción principal es:

Con una reacción secundaria:

La materia prima es 96% de etileno, 3 % de propileno y 1% de metano. El propileno también reacciona según la reacción:

Propileno + H2O a Isopropanol

La conversión del etileno es 6% mientras que la del propileno es de 1 %. La selectividad de etileno a etanol es 96 %. En la alimentación se considera un exceso de agua de 40% con respecto al etileno. Los gases sin reaccionar se reciclan al reactor después de separar todo el flujo molar de los alcoholes, el agua y el éter dietílico en un absorbedor con agua. La fracción de recirculación es 0.95. Los alcoholes, el éter y agua se separan en un tren de separadores con eficiencia de 100 %. Ver figura 5

Figura 5. Diagrama del proceso de fabricación del etanol.

El flujo molar de las especies químicas a la salida del reactor es:

En donde ni y nio son los flujos molares a la salida y la entrada del reactor del componente i etanol, etileno, propileno, éter, agua metano e isopropanol con numeraciones de 1 a 7, respectivamente . La conversión del componente clave y su flujo molar de entrada son xk y nko, respectivamente. ni,j es el coeficiente estequiométrico del componente i en la reacción j. Si/k es la selectividad del componente i con respecto al componente k.

Siguiendo la nomenclatura del ejemplo 1, los flujos molares del etileno a la salida de los equipos de la figura 5, son:

Entrada al reactor: B2 = 308.9/(x1*S)

Salida del reactor: C2 = (1 – x1)*B2

Domo de absorbedor: D2 = C2

Reciclo: E2 = r*D2

Purga: F2 = D2 – E2

Carga: G2 = B2 – E2

Producto: H2 = C2 – D2

Nótese que el cálculo de la alimentación (carga) se deja hasta el final. Para el propileno y el agua se tiene:

Flujos molares del propileno Flujos molares del agua.

B3 = G3/(1-(1-x2)*r); B4 = 1.4*B2

C3 = (1 – x2)*B3; C4 = B4-(S+(1-S)/2)*x1*B2

D3 = C3; D4 = 0

E3 = r*D3 ; E4= 0

F3 = D3 – E3; F4= 0

G3 =(3/96)*G2; G4 = B4

H3 = C3 – D3 ; H4 = B4 – C4

De la misma manera se obtienen las ecuaciones de los otros componentes. La solución en Excel con la estrategia de solución secuencial se muestra en la figura 6.

Figura 6. Hoja de trabajo de la solución secuencial del ejemplo 2.

La suma de los flujos en kg/hr de las corrientes de entrada y salida difieren por 0.005% debido al truncamiento en los valores de pesos moleculares a dos cifras decimales. Al aplicar la estrategia de solución simultanea al ejemplo 2, se obtiene los mismos resultados que se muestran en la figura 6.

En los ejemplos presentados se usa en, la solución secuencial el método de sustituciones sucesivas, por ser el de más fácil aplicación. Otros métodos como el de Wegstein y Newton Raphson [4, 5] también se pueden implementar en Excel a través de macros en Visual Basic o con subrutinas codificadas en Fortran [6].

Recomendaciones para la construcción de las hojas de trabajo.

Una práctica, altamente recomendada, es la creación de tablas en una hoja de papel, con los datos y las fórmulas del problema a resolver, que tenga la apariencia que tendrá el problema en Excel. Esto es equivalente a la creación de diagramas de flujo antes de la codificación, en un lenguaje de programación como FORTRAN o C++. Esta práctica de planear primero y codificar después permite, con algunos cálculos manuales, en las tablas, identificar errores de lógica en la secuencia de cálculos y corregirlos antes de usar la computadora.

Distinguir tres áreas en la hoja de cálculo. La primera, en la parte superior definición del propósito de la hoja de cálculo, del autor y la fecha. A continuación, una área abajo de la anterior con datos del problema, ya sean constantes o parámetros. Finalmente, el área que forma el cuerpo principal de la hoja de trabajo con las fórmulas, en donde quedaran cálculos intermedios y los resultados. Abajo del área de las fórmulas dejar suficiente espacio para poner notas explicatorias sobre los cálculos en las fórmulas. Todas las celdas ya sean que contengan datos o fórmulas deben llevar rótulos para su identificación.